Sifat-sifat Operasi Hitung dalam Matematika

Sifat-sifat Operasi Hitung

            2.4.1    Ketertutupan

                        Setiap kali kita menjumlahkan dua buah bilangan asli, hasilnya masih tetap bilangan asli. Misalkan m Є N dan n Є N, makam+n Є N. Hal ini dikatakan bahwa operasi tambah tertutup di bawah himpunan bilangan asli N. Operasi pengurangan tidak tertutup dalam himpunan bilangan asli N, karena dapat diambil (sekurang kurangnya sebuah). Contoh: 2 Є N dan 7 Є N, tetapi 2-7 bukan anggota N.

                                    Operasi kali tertutup dalam himpunan bilangan asli N, tetapi operasi bagi tidak tertutup dalam himpunan bilangan asli N. Dalam sistem bilangan real keempat operasi tertutup, kecuai unsur nol dalam operasi bagi.

            2.4.2    Komutatif (pertukaran)

            Dalam himpunan bilangan asli N kita ketahui bahwa a + b = b + a, untuk setiap bilangan asli a dan b. Hal ini dikatakan bahwa dalam himpunan bilangan asli berlaku komutatif penjumlahan. Bagaimana dengan operasi perkalian, pengurangan dan pembagian?

            2.4.3    Asosiatif (pengelompokkan)

            Untuk bilangan asli a, b, dan c kita mengetahui bahwa  ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Ini dikatakan bahwa operasi penjumlahan asosiatif dalam himpunan asli. Demikian juga untuk operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ). Bagaimana dengan operasi pengurangan dan pembagian? Apakah ( a – b ) – c = a – ( b – c )?

            2.4.4    Unsur satuan

Dalam sistem bilangan asli tidak terdapat unsur satuan operasi tambah,

Sebab tidak terdapat unsur e di N yang bersifat a + e = e + a = a, untuk setiap a anggota N. Tetap dalam sistem bilangan cacah terdapat unsur satuan operasi tambah yaitu 0. Sebab a + 0 = 0 + a = a. Untuk setiap bilangan cacah a.

            Pandang sistem bilangan bulat Z. Bilangan e Є Z disebut unsur satuan ( = unsur identitas = elemen netral ) operasi tambah dari Z jika memenuhi a + e = e + a = a, untuk setiap bilangan bulat a Є Z. Bilangan e yang memenuhi adalah 0.

            Dalam operasi perkalian bilangan e yang memenuhi a x e = e x a = a, untuk setiap a Є Z adalah e = 1. Hal ini dikatakan bahwa unsur satuan operasi perkalian di Z adalah 1.

2.4.5    Unsur Invers

Pandang sebuah sistem bilangan rasional Q, bilangan p Є Q dinamakan invers operasi “ +” dari a jika dan hanya jika memenuhi a + p = p + a = 0, biasanya p ditulis sebagai p = -a. Untuk operasi perkalian q Є Q dikatakan invers operasi kali dari a Є Q, jika dan hanya jika memenuhi:a x a = q x a = 1, biasanya q ditulis sebagai q 1/a atau  q ̄ ¹

2.4.6    distributif (kali terhadap tambah)

Dalam sistem bilangan asli, cacah, bulat, rasional, real dan kompleks berlaku sifat distributif.Pandang sistem bilangan Z.

Untuk a, b, dan c di Z berlaku:

i)                    a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )         (distributif kiri)

ii)                  ( a + b ) x c = ( a x c ) + ( b x c )         (distributif kanan)

Keenam sifat-sifat diatas penting untuk memenuhi lebih dalam tentang sistem matematika dalam aljabar, misalnya untuk memenuhi sistem grup, ring, field, dan integral domain, serta sistem aljabar lainnya.