Materi dan Pembahasan Klasifikasi aksioma

Dalam mengklasifikasikan sistem aksioma berikut dimaksudkan untuk mempermudah dalam mempelajari. Terdapat dua klasifikasi dalam tulisan ini, yaitu (1) aksioma “self evident truth” dan “non-self evident truth” (2) aksioma “material”, “formal” dan “diformalkan.

1. Aksioma self evident truth.

Suatu aksioma dikatakan self evident truth jika dalam pernyataanya sudah langsung tergambar kebenaranya. Aksioma dari geometri Euclides “melalui dua titik berlainan dapat dibuat tepat satu garis lurus”, aksioma nampak langsung dapat ditangkap kebenaran-nya di kepala kita.

2. Aksioma non-self evident truth. 

Suatu aksioma dikatakan non-self evident truth jika kita tidak dapat langsung menangkap kebenaran dari aksioma tersebut. Hal ini dikarenakan aksioma tersebut hanya mengaitkan beberapa fakta atau konsep dengan relasi tertentu, sehingga kebenaran dari aksioma tersebut cenderung hanya kesepakatan belaka. Contoh sistem aksioma dalam klasifikasi ini adalah sistem aksioma grup, topologi, ruang metrik, poset dan sebagainya. Justru karena pengangkatan aksioma seperti ini yang memberikan kemungkinan lebih besar dalam perkembangan matematika. 

3. Aksioma material 

Suatu aksioma dikatakan material jika unsur-unsur serta relasi yang terdapat dalam aksioma tersebut masih dikaitkan langsung dengan realitas atau dikaitkan dengan materi tertentu atau dianggap ada yang sudah diketahui. Contoh Aksioma Grup pada bilangan real. R himpunan bilangan real, dengan operasi penjumlahan merupakan grup. 

4. Aksioma formal 

Suatu aksioma dikatakan formal jika unsur-unsurnya dikosongkan dari arti, namun masih dimungkinkan adanya unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa, antara lain terlihat dengan masih bermaknanya kata “atau” dan “dan” dalam logika. Contoh <G, +> merupakan grup jika dan hanya jika memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas dan setiap elemen memiliki invers. Jika G dikosongkan dari arti, maksudnya G tidak harus bilangan. Sedangkan operasi “+” pada G masih diartikan sebagai operasi penjumlahan biasa.

5. Aksioma yang diformalkan. 

Suatu aksioma dikatakan diformalkan jika semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian hingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol belaka. Contoh <G, ¬> merupakan grup jika dan hanya jika memenuhi sifat tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas dan setiap elemen memiliki invers. Jika G dikosongkan dari arti, maksudnya G tidak harus bilangan. Begitu juga operasi “¬” pada G dianggap sebagai simbol belaka.