Operasi Hitung yang didefinisikan (Khusus)

Operasi Hitung yang didefinisikan (Khusus)

1)      Misalkan kita adakan lambang operasi baru “*” (bintang) yang mempunyai arti “Kalikanlah bilangan pertama dengan 2 kemudian tambahkanlah hasilnya dengan bilangan kedua”, maka nilai-nilai dari operasi berikut ini adalah sebagai berikut:

a.       4*3 = 2.4+3 = 11

3*4 = 2.3+4 = 10

b.      (5*2)*2 = (2.5+2)*3 = 12*3 = (2.12)+3 = 27

5*(2*3) = 5*(2.2+3) = 5*7 = 5.2+7 = 17

Dari dua contoh diatas ternyata operasi “*” tidak komutatif maupun asosiatif

2)      Bila operasi “#” didefinisikan “Kalikanlah bilangan pertama dengan bilangan kedua, kemudian tuliskanlah angka satuannya”, maka

a.       4#3 = 2 dan 3#4 = 2, 6#7 = 2 dan 7#6 = 2 (komutatif)

b. asosiatif (6#3)#2 = 8#2 = 6

6#(3#2) = 6#6 = 6

Ternyata operasi # komutatif dan asosiatif.

3)      Jika ditentukan a  b = a +b – ab, untuk a dan b bilangan bulat, maka

a.       4  3 = 4 + 3 – 12 = -5

3  4 = 3 + 4 – 12 = -5

b.      (9  5)  2  = (9 + 5 – 45)  2

= (14 – 45)  2

= -31  2

= -31 + 2 – (-62)

= 33

9  (5  2) = 9  (5 + 2- 10)

= 9  (-3)

= 9 + (-3) – (-27)

=  33

Dalam operasi  komutatif tetapi tidaka sosiatif.

4)      Tentukan definisi dari “@”, kemudian lengkapilah:

a.       4@3 = 13              b.  6@4 = 20                     c. 7@2 =11

5@2 = 23                   8@5 = 39                          6@4 = 22

      3@6 = 3                     4@3 = 7                        8@3= 17

Definisi:

Point a: “kuadratkanlah bilangan pertama kemudian hasilnya dikurangi bilangan kedua”

Point b: “kuadratkanlah bilangan pertama dan bilangan kedua, kemudian hasil dari pengkuadratan bilangan pertama dikurangi dengan hasil pengkuadratan bilangan kedua”

Point c: “kuadratkanlah bilangan kedua kemudian hasilnya ditambah dengan bilangan pertama”

4@7 =                            12@5 =                               5@4=

7@4 =                            9@6 =                                 2@6=

2@5 =                            8@7 =                                 1@9=

5)      Misalkan operasi * dan  dalam sistem bilangan real R didefinisikan sebagai berikut:

       a * b = a+b-3

       a  b = a+b-ab

a.                  Apakah operasi * dan  tertutup dalam sistem bilangan real R

b.                  Apakah berlaku komutatif * dan

c.                  Apakah berlaku asosiatif * dan

d.                 Apakah terdapat unsur identitas * dan unsur identitas

e.                  Apakah setiap unsur di R maing-masing mempunyai operasi * dan

f.                   Apakah berlaku distributif * terhadap

g.                  Apakah sifat kanselasi berlaku

Penyelesaian:

a.       Untuk setiap a, b di R, maka a * b = a+b-3  R dan a  b = a+b-ab  R

Jadi operasi * dan  tertutup dalam R

b.      Untuk setiap a,b di R, maka

a * b = a+b-3 = b+a-3 = b * a

a  b = a+b-ab = b+a-ab = b  a

Jadi operasi * dan  komutatif dalam R

c.       Untuk setiap a, b dan c di R, berlaku:

(a*b)*c = (a+b-3) * c

            = (a+b-3)+c-3

            = a+(b+c-3)-3

            = a*(b+c-3)

            = a*(b*c)

Jadi operasi * asosiatif dalam R

(a b) c = (a+b-ab) c

            = (a+b-ab)+c-(a+b-ab)c

            = a+b-ab+c-ac-bc+abc

            = a+b+c-ab-ac-bc+abc……… (1)

a  (b c) = a  (b+c-bc)

            = a+(b+c-bc)-a (b+c-bc)

            = a+b+c-bc-ab-ac+abc

            = a+b+c-ab-ac-bc+abc……… (2)

Dari …(1) dan …(2) dapat disimpulkan bahwa

(a b) c = a (b c)

Dengan demikian operasi  asosiatif dalam R

d.      Akan diperiksa apakah ada unsur identitas operasi * di R

Misalkan a sebarang unsur R sedemikian sehingga

                    a*e = a

a+e-3=a

e-3 = 0

e=3

Jadi unsur identitas operasi * di R adalah 3

Akan diperiksa apakah ada unsur identitas operasi  di R

Misalkan a sebarang unsur R sedemikian sehingga

a u = a

a+u-au = a

u-au = 0

u(1-a) = 0 untuk a  1, maka

u = 0

jadi unsur identitas operasi  di R adalah 0, sebab

a 0 = a+0-a.0 = a

e.       Apakah setiap unsur di R mempunyai invers baik operasi * maupun operasi  ?

Ambil sebarang a  R, misalkan p  R adalah invers operasi * sedemikian sehingga a*p = 3 [3 = unsur identitas]

a*p = 3

a+p-3 = 3

a+p=6

p=6-a

Jadi invers operasi dari a adalah “6-a”

Ambil sebarang a  R, misalkan q  R adalah invers operasi  sedemikian sehingga a  q = 0 = 0

a+q-aq = 0

q-aq = -a

aq-q = a

q(a-1) = a

q =  dengan a  1

Jadi unsur a di R dengan a  1 mempunyai invers berbentuk  R, sebab  = 0

f.       Apakah berlaku distributif  terhadap *

Akan diperiksa apakah untuk sebarang a, b, dan c  R berlaku

a (b*c) = (a b) * (a c)?

a+(b*c)-a(b*c) = (a+b-ab) * (a+c-ac)?

a+(b+c-3)-a(b+c-3) = (a+b-ab) + (a+c-ac) - 3?

a+3a+b+c-ab-ac-3 = a+a+b+c-ab-ac-3?

4a+b+c-ab-ac-3 = 2a+b+c-ab-ac-3?

Ternyata a (b*c)  (a b) * (a c), seehingga operasi  tidak distributif terhadap *.

g.      Apakah berlaku sifat kanselasi?

h.      Untuk sebarang a, b, dan c di R dengan a* c = b*c

Apakah a=b?

a*c = b*c

a+c-3 = b+c-3

a+(c-c)-(3-3) = b+(c-c)-(3-3)

a+0 = b+0

a = b

Jadi dalam operasi *berlaku sifat kanselasi.

Untuk sebarang a, b, dan c  R dengan a c = b c apakah a = b?

a c = b c

a+c-ac = b+c-bc

a-ac = b-bc

a(1-c) = b(1-c)

Untuk c  1, maka a = b

Jadi dalam operasi  jika a c = b c dengan c  1, berlaku a = b.