Materi dan pembahasan tentang Deduktif Aksiomatik

Deduktif-Aksiomatik.

Matematika   sebagai   ilmu   sifat-sifat   atau   prinsip-prinsipnya  dibentuk   atau ditemukan melalui pola pikir deduktif ataupun induktif. Dengan kata lain sifat-sifat atau prinsip-prinsip matematika ada yang ditemukan melalui pengalaman lapangan ada pula yang tanpa pengalaman lapangan ataupun malah intuitif (Soedjadi, 1994).

Namun setelah prinsip atau sifat tertentu berada dalam suatu sistem atau struktur, maka  harus  dapat  dibuktikan  secara  deduktif.  Dalam  semua  penalaran  deduktif, kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logik dari alasan-alasan yang bersifat umum menjadi bersifat khusus. Penerapan cara  berpikir logik  ini  akan  menghasilkan suatu teorema-teorema, yang  selanjutnya  dapat  diterapkan  dalam  menyelesaikan masalah- masalah baik dalam matematika maupun diluar matematika.

Contoh (diambil dari Soedjadi)

 

Mula-mula diamati dua buah garis sejajar g dan h, dan titik A, B, dan C pada garis g sedangkan titik P, Q, dan R pada garis h. kemudian masing-masing titik dihubungkan oleh garis lain. Ternyata tampak ada tiga titik potong garis-garis hubung itu terletak pada sebuah garis, yaitu x, y dan z. Bagaimana jika kedua garis g dan h tidak sejajar? Bagaimana jika garis g dan h tidak lurus? Bagaimana jika kedua garis itu merupakan bagian dari sebuah lingkaran? Ternyata selalu ditemukan titik X, Y, dan Z yang segaris.

Selanjutnya temuan itu harus dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan kesepakatan-kesepakatan atau sifat-sifat yang sudah ada. Jadi pada akhirnya haruslah digunakan pola pikir deduktif.

Secara  skematis  kemungkinan  temuan  beberapa  prinsip  matematika  adalah sebagai berikut:

Sedangkan  bila  ditinjau  dari  sistemnya  sendiri  matematika merupakan  sistem aksiomatik. Karena itu metodenya aksiomatik, yaitu terdiri dari sekumpulan pernyataan dasar yang kosong dari arti. Karena itu kita tidak bisa mengatakan benar atau salahnya jika pernyataan itu  masih kosong dari arti.  Pernyataan-pernyataan dasar itu  disebut aksioma. Aksioma-aksioma tersebut merupakan kesepa-katan belaka, yaitu menyatakan sifat-sifat dan relasi-relasi yang merupakan terminologi kosong dari arti yang kita sepakati berlaku.

Aksioma sebagai landasan matematika itu dapat diperoleh dari dunia nyata/alam sekitar sebagai sumber inspirasi, yang kemudian diabstraksikan dan digeneralisasikan dengan menggunakan simbul-simbul. Dengan menggunakan bahasa matematika yang penalaranya deduktif, diperoleh teorema yang kemudian dikembangkan menjadi teorema- teorema yang pada akhirnya dapat diaplikasikan ke ilmu-ilmu lain yang bermanfaat untuk kehidupan nyata.